會計自考《線性代數》復習資料 - 下載本文

(5)對于任意n維列向量α,β都有內積等式(Aα,A β)=(α, β),因此‖Aα‖=‖α‖,以及(α, β)=0?(Aα,A β)=0 定義5.3.7 設A是n階正交矩陣,x,y是兩個n維列向量,則稱線性變換y=Ax為正交變換

當A是n階正交矩陣時,內積等式(Aα,A β)=(α, β)說明正交變換一定不改變任何兩個向量的內積,因此,也不改變向量的長度,而且保持兩個向量之間的正交性不變,因此,正交變換一定把標準正交向量組變成標準正交向量組

定理5.3.2兩個同階的正交矩陣的乘積一定是正交矩陣

定理5.3.3n階實方陣A是正交矩陣?A的n個行向量是標準正交向量組?A的n個列向量是標準正交向量組 設三階正交矩陣A的三個行向量為α1,α2,α3可得AA=E3?α??????=

T

T

1,??=??

0,??≠??

1??

定理5.3.4 設A是n階正交矩陣,λ是A的任意一個特征值,則λ≠0而且也是A的特征值 ? 設x為n維單位列向量,H=En-2xx是對稱矩陣和正交矩陣,而且有Hx=-x,稱H為鏡像矩陣

5.4 實對稱矩陣的相似標準形

定理5.4.1實對稱矩陣的特征值一定是實數,其特征向量一定是實向量

定理5.4.2 實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量一定是正交向量。若存在正交矩陣P,使得PAP=B,則稱矩陣A正交相似于矩陣B

定理5.4.3 (對稱矩陣基本定理)對于任意一個n階實對稱矩陣A,一定存在n階正交矩陣P,使得PAP=PAP=Λ,對角矩陣Λ中的n個對角元λ1,λ2,?,λn就是A的n個特征值,反之,凡是正交相似于對角矩陣的實方陣一定是對稱矩陣。

? n階實方陣A正交相似于對角矩陣當且僅當A是對稱矩陣。對角矩陣Λ稱為對稱矩陣A的正交相似標準形 說明:

(1)當P是可逆矩陣時,稱B=PAP與A相似;當P是正交矩陣時,稱B=PAP與A正交相似 (2)因為對角矩陣Λ必是對稱矩陣,所以當A正交相似于對角矩陣Λ時,A必是對稱矩陣

(3)n階實對稱矩陣A一定相似于對角矩陣,這說明A一定有n個線性無關的特征向量,屬于每一個特征值的線性無關的特征向量個數一定與此特征值的重數相等,它就是用來求特征向量的齊次線性方程組的自由未知量的個數。 定理5.4.4兩個有相同特征值的同階對稱矩陣一定是正交相似矩陣 ? 求正交矩陣P和正交相似標準形Λ的步驟

1、特征值兩兩互易:用特征方程|λEn—A|=0求特征值→求對應的特征向量并單位化→把單位向量拼成正交矩陣P→通過PAP=PAP=Λ求出正交相似標準形

2、特征值有重根:用特征方程|λEn—A|=0求特征值→求對應的特征向量,用施密特正交化法把特征向量標準正交化并單位化→把單位向量拼成正交矩陣P→通過PAP=PAP=Λ求出正交相似標準形

說明:在求矩陣的正交相似標準形時,在正交矩陣P中的特征向量pi的排列次序和對角矩陣Λ中的特征值λi的排列次序,其排列方法不是唯一的,但是pi必須與λi互相對應,即P的各列的排列次序與特征值的排列次序必須一致

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T

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T

第六章 實二次型 6.1 實二次型及其標準形

6.1.1 實二次型的定義

定義6.1.1n元實二次型指的是含有n個未知量x1,x2,?,xn的實系數二次齊次多項式,可簡寫成矩陣形式:

f(x1,x2,?,xn)=xTAx,A為n階實對稱矩陣,稱A是二次型f的矩陣,稱f是以A為矩陣的二次型

6.1.2 二次型的標準形

定義6.1.2只有平方項xi而沒有交叉項xixj,i≠j的二次型

2

f(x1,x2,?,xn)=d1x12+d2x22+?+dnxn2稱為二次型的標準形,其對應的矩陣為對角矩陣

? 一般的n元二次型f(x1,x2,?,xn)=xAx,經過可逆線性變換,使f(x1,x2,?,xn)=y(CAC)y= g(y1,y2,?,

T

T

T

yn)= d1y1+d2y2+?+dnyn=yΛy,上述線性變換可記成x=Cy,C是n階可逆矩陣,于是,對于給定的二次型f(x1,

2

2

2

T

x2,?,xn)=xTAx,只要找到可逆矩陣C,使得CTAC=Λ為對角矩陣,那么就可把原二次型化成標準形,其中

的系數就是對角矩陣Λ的n個對角元 ? 對于n階方陣A和B,

(1)A和B等價指的是存在n階可逆矩陣P和Q,使得B=PAQ,也就是A與B之間可以經過初等變換實現互變,記為A≌B,此時A與B必有相同的秩

(2)A和B相似指的是存在n階可逆矩陣P,使得B=PAP,記為A∽B,此時A與B必有相同的特征值和行列式 定義6.1.3 如果對于n階方陣A和B,存在n階可逆矩陣P,使得B=PAP,則稱A與B合同,記為A?B ? 方陣之間的合同關系有三條性質 (1)反身性 A?A

(2)對稱性 若A?B,則B?A (3)傳遞性 若A?B,B?C,則A?C

說明:兩個相似的方陣必等價,兩個合同的方陣必等價,反之都不成立,等價的方陣未必相似,也未必合同。如果存在正交矩陣P,使得B=PAP,則由P=P知道必有B=PAP,因此,兩個正交相似的方陣必正交合同,反之,兩個正交合同的方陣也必正交相似。因此,兩個方陣正交相似與正交合同是一回事,然而,兩個同階方陣既相似又合同時,它們未必是正交相似的,也未必正交合同

定理6.1.1對于任意一個n元二次型f=xAx,一定存在正交變換x=Py,PP=En,使得f(x1,x2,?,xn)=xAx= yΛy=

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-1

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-1

λ1y1+λ2y2+?+λnyn,其中,λ1,λ2,?,λn就是矩陣A的n個特征值。我們把這種標準形稱為二次型f=xAx的相似標準形,它的n個系數就是對稱矩陣A的n個特征值 ? 求二次型的標準形的方法

1、正交變換:將二次型化為矩陣A→求特征值→求出n個兩兩正交的單位特征向量組,拼出正交矩陣P 2、可逆變換

6.1.3 用配方法求二次型的標準形

? 對于給定的二次型f=xAx,用可逆線性變換x=Py,P為可逆矩陣,使得PAP=Λ來得到標準形

T

T

222T

f=xAx=yΛy=d1y1+d2y2+?+dnyn,我們把這種標準形稱為二次型f=xAx的合同標準形,它的n個系數未必是對

T

T

2

2

2

T

稱矩陣A的特征值 6.1.4 二次型的規范形

定義6.1.4所有平方項的系數均為1、-1或0的標準二次型稱為規范二次型

定理6.1.2(慣性定理)任意一個n元二次型f=xAx,一定可以經過可逆線性變換化為規范形

T

f=z12+?+zk2-zk+12-?-zr2,而且其中的k和r是由A唯一確定的(與所采用的變換的選擇無關),k是規范形中系

數為1 的項數,r就是A的秩

????慣性定理的矩陣形式 對于任意一個n階對稱矩陣A,一定存在n階可逆矩陣R使得RAR=

T

T

????????

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定義6.1.5 規范形中的k稱為二次型f=xAx(或對稱矩陣A)的正慣性指數,稱r-k為二次型f=xAx(或對稱矩陣A)的負慣性指數,k-(r-k)=2k-r稱為它們的符號差

定理6.1.3 對稱矩陣A與B合同當且僅當它們有相同的秩和相同的正慣性指數 必要性 充分性

6.2 正定二次型和正定矩陣

6.2.1 實二次型的分類

? n元實二次型f=xAx和對應的n階實對稱矩陣A,可分成以下五類:

(1)如果對于任何非零實列向量x,都有xAx>0,則稱f為正定二次型,稱A為正定矩陣 (2)如果對于任何實列向量x,都有xAx≥0,則稱f為半正定二次型,稱A為半正定矩陣 (3)如果對于任何非零實列向量x,都有xAx<0,則稱f為負定二次型,稱A為負定矩陣 (4)如果對于任何實列向量x,都有xAx≤0,則稱f為半負定二次型,稱A為半負定矩陣 (5)其他的實二次型稱為不定二次型,其他的實對稱矩陣為不定矩陣 6.2.2 正定矩陣

定理6.2.1 實對角矩陣Λ為正定矩陣當且僅當Λ中的所有對角元全大于零,因此,單位矩陣一定是正定矩陣 定理6.2.2設n階矩陣A=(αij)是正定矩陣,則A中所有對角元αii>0,i=1,2?,n 定理6.2.3 設A與B是兩個合同的實對稱矩陣,則A為正定矩陣當且僅當B為正定矩陣 定理6.2.4同階正定矩陣之和必為正定矩陣

注意:兩個同階正定矩陣A與B之積AB是正定矩陣當且僅當AB是對稱矩陣,于是,正定矩陣A與B之積AB是正定矩陣當且僅當AB=BA

定理6.2.5 n階對稱矩陣A=(αij)是正定矩陣?A的n個特征值全大于零 推論

(1)n階對稱矩陣A=(αij)是正定矩陣?A的正慣性指數為n(A的正慣性指數就是A的正特征值的個數) (2)n階對稱矩陣A=(αij)是正定矩陣?A合同于單位矩陣

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(3)任意兩個同階的正定矩陣必是合同矩陣

定義6.2.1設A=(αij)是n階方陣,則它的如下形式的k階子式稱為A的k階順序主子式

??11??12 … ??1????21??22 … ??2??Dk= ? ? ? ,1≤k≤n ????1????2 … ??????注:n階方陣A的k階順序主子式指的是,位于A中前k行和前k列的k個元素,按照原來的相對順序排成的k階行列式,依次取k=1,2,?,n,可以得到n個順序主子式,特別,一階順序主子式就是一個元素??11,n階順序主子式就是|A|

定理6.2.6 n階實對稱矩陣A=(αij)是正定矩陣?A的n個順序主子式Dk>0,k=1,2,…,n

注意:當A=(αij)是正定矩陣時,它的所有對角元素一定都是正數,而且行列式也大于零,但是反過來說是不成立的

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