06 - 第六章 - 數列 - 下載本文

?S1(n?1) an???Sn?Sn?1(n?2)若a1適合an,則把它們統一起來,否則就用分段函數表示. 題型2 應用迭加(迭乘、迭代)法求通項

【例2】⑴已知數列?an?中,a1?2,an?an?1?2n?1(n?2),求數列?an?的通項公式; ⑵已知Sn為數列?an?的前n項和,a1?1,Sn?n2?an,求數列?an?的通項公式. 【解題思路】⑴已知關系式an?1?an?f(n),可利用迭加法或迭代法;

⑵已知關系式an?1?an?f(n),可利用迭乘法.

【解析】⑴方法1:(迭加法)

?a1?2,an?an?1?2n?1(n?2),?an?an?1?2n?1 ?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1

?(2n?1)?(2n?3)?(2n?5)???5?3?1?n(2n?1?1)?n2

2方法2:(迭代法)?a1?2,an?an?1?2n?1(n?2),

?an?an?1?2n?1?an?2?2(n?1)?2n?1

?an?3?2(n?2)?2(n?1)?2n?1??

?1?3?5???2(n?2)?2(n?1)?2n?1?n2,?an?n2.

⑵?a1?1,Sn?n2?an,?當n?2時,Sn?1?(n?1)2?an?1

?an?Sn?Sn?1?n2an?(n?1)2an?1?ann?1. ?an?1n?1?an?n?1n?2n?3212anan?1an?2aa???????1?. ?????3?2?a1?n?1nn?143n(n?1)an?1an?2an?3a2a1【名師指引】⑴迭加法適用于求遞推關系形如“an?1?an?f(n)”; 迭乘法適用于求遞推關系形如“an?1?an?f(n)“;⑵迭加法、迭乘法公式:

① an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1

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② an?anan?1an?2aa?????3?2?a1. an?1an?2an?3a2a1題型3 構造等比數列求通項

【例3】已知數列?an?中,a1?1,an?1?2an?3,求數列?an?的通項公式.

【解題思路】遞推關系形如“an?1?pan?q”是一種常見題型,適當變形轉化為等比數列.

【解析】?an?1?2an?3,?an?1?3?2(an?3)

??an?3?是以2為公比的等比數列,其首項為a1?3?4 ?an?3?4?2n?1?an?2n?1?3.

【名師指引】遞推關系形如“an?1?pan?q” 適用于待定系數法或特征根法: ①令an?1???p(an??);

② 在an?1?pan?q中令an?1?an?x?x?q,?an?1?x?p(an?x); 1?p③由an?1?pan?q得an?pan?1?q,?an?1?an?p(an?an?1). 【例4】已知數列?an?中,a1?1,an?1?2an?3n,求數列?an?的通項公式. 【解題思路】遞推關系形如“an?1?pan?qn” 適當變形轉化為可求和的數列. 【解析】方法1:?an?1?2an?3n,?n則 bn?1?bn?(),

an?1anan3n??()?bn ,令nn?1n?1222232?bn?(bn?bn?1)?(bn?1?bn?2)???(b2?b1)?b1

n?1n?2?()n?3???()2? ?()?()3232323233?1?2?()n?2 22?an?3n?2n

方法2:?an?1?2an?3n,?則 bn?1?an?12anan???1?bn ,令3n33n?13n?12bn?1,轉化為“an?1?pan?q“ (解法略) 3【名師指引】遞推關系形如“an?1?pan?qn”通過適當變形可轉化為:

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“an?1?pan?q”或“an?1?an?f(n)n求解.

【例5】已知數列?an?中,a1?1,a2?2,an?2?3an?1?2an,求數列?an?的通項公式. 【解題思路】遞推關系形如“an?2?p?an?1?q?an”可用待定系數法或特征根法求解. 【解析】令an?2???an?1??(an?1???an) 由??????3????1????2或?,?an?2?an?1?2(an?1?an) ????????2???2???1?數列?an?1?an?是等比數列,?an?1?an?2n?1

?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1

?2n?2?2n?3?2n?4???2?1?1?2n?1.

【名師指引】遞推關系形如“an?2?p?an?1?q?an”,通過適當變形轉化為可求和的數列. 【新題導練】

1.已知Sn為數列?an?的前n項和, Sn?3an?2(n?N?,n?2),求數列?an?的通項公式.

【解析】當n?1時,a1?S1?3a1?2?a1??1,

當n?2時,an?Sn?Sn?1?(3an?2)?(3an?1?2).?2an?3an?1?an3? an?12??an?是以

33n?1為公比的等比數列,其首項為a1??1,?an??1?(). 222.已知數列?an?中,a1?2,(n?2)an?1?(n?1)an?0(n?N?),求數列?an?的通項公式. 【解析】由(n?2)an?1?(n?1)an?0得,

an?1n?1 ?ann?2?an?nn?1n?2324anan?1an?2aa???????2?. ?????3?2?a1?n?1nn?143n?1an?1an?2an?3a2a12an?2,求數列?an?的通項公式; 33.⑴已知數列?an?中,a1?1,an?1?⑵已知數列?an?中,a1?1,an?1?2an?n,求數列?an?的通項公式. 【解析】⑴an?1?222an?2?an?1?6?(an?6),?an?7?()n?1?6; 333⑵令an?1???n?2(an???n),得???1

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?an?1?n?2(an?n),?an?n?2?2n?1, ?an?2n?n

4.已知數列?an?中,a1?1,an?1?3an?3n,求數列?an?的通項公式. 【解析】?an?1?3an?3n,?an?1anan??1?bn ,令3n3n?13n?1?數列?bn?是等差數列,bn?1?1(n?1)?n,?an?n?3n?1.

5.(2008全國Ⅱ卷理?節選)

設數列?an?的前n項和為Sn,已知a1?a,an?1?Sn?3n(n?N?),設bn?Sn?3n, 求數列?bn?的通項公式.

【解析】依題意,an?1?Sn?1?Sn?Sn?3n,即Sn?1?2Sn?3n, 由此得Sn?1?3n?1?2(Sn?3n), ? bn?Sn?3n?(a?3)?2n?1. 6.(2008廣東文?節選)

12an?1?an?2(n?3),求數列?an?的通項公式. 33122【解析】由an?an?1?an?2 得an?an?1??(an?1?an?2)(n?3)

3332又a2?a1?1?0,所以數列?an?1?an?是以1為首項,公比為?的等比數列,

32?an?1?an?(?)n?1

3已知數列?an?中,a1?1,a2?2,an??an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1 2222832?(?)n?2?(?)n?3???(?)2?(?)?1?1??(?)n?1.

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1.若數列?an?的前n項和Sn?an?1(a?R,且a?0),則此數列是( )

A.等差數列 B.等比數列

C.等差數列或等比數列 D.既不是等差數列,也不是等比數列

【解析】C. ?Sn?an?1,?an?Sn?Sn?1?(a?1)an?1(n?2)

?當a?1時,an?0,?an?是等差數列;a?0且a?1時,?an?是等比數列.選C.

2.數列?an?中,a1?1,an?n(an?1?an),則數列?an?的通項an?( )

A.2n?1 B.n2 C.(n?1n?1) D.n nan?1【解析】D a1?1,an?n(an?1?an)?n?1?,使用迭乘法,得an?n.

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3.數列?an?中,an?1?3an?2(n?N?),且a10?8,則a4?( )

180126 B.? C. D.? 81812727【解析】B 由an?1?3an?2(n?N?),得an?1?1?3(an?1),an?1?(a10?1)3n?10

80?an?3n?8?1,a4?3?4?1??.

81A.

224.設?an?是首項為1的正項數列,且(n?1)an?na?1n?an?1an?0(n?N?),

則數列?an?的通項an? . 【解析】an?1n22an)?0 (n?1)an?1?nan?an?1an?0?(an?1?an)(an?1?nn?15.數列?an?中,a1?1,an?1?2an(n?N?),則?an?的通項an? . 2?an【解析】an?22an111 由an?1?,得?? 2n?12?anan?1an26.數列?an?中,a1?1,an?an?1?【解析】an?anan?1(n?N?),則?an?的通項an? .

111. 由,得??1 a?a?aann?1nn?12nan?1an?11?1?1?(n?1)?n,?an?2.

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7.數列?an?中,a1?2,an?1?2an(n?N?),求數列?an?的通項公式.

4?an【解析】?an?1?2an4?an1211111,????,???2(?).

an?12an24?anan?12anan2?11?11?數列???是以2為公比的等比數列,其首項為??1.

a12?an2??112 ??2n?1?an?nan22?18.已知數列?an?中,a1?2,a2?1,an?2?5an?1?an?0(n?N?),求數列?an?的通項公式. 【解析】?an?2?5an?1?an?0,?an?2?2an?1?3(an?1?2an).

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